Question

（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）

Answer 1

分析：（1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．

解答：（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴

AO

OC

=

BO

OD

，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，

根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．