Question

某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚．平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27 000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000．每公顷大棚的年平均经济收益为75 000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60 000元．
（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？
（2）若要使收益达到最大，请问应修建多少公顷大棚？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可设一年中这个村修建了x公顷蔬菜大棚，则材料的费用为27 000x元，喷灌设备的费用为9000x²元，经济收益为75000x元，所以可列方程75000x-（27000x+9000x²）=60 000，解之即可；
（2）利用（1）的分析，可知设修建a公顷大棚的话，收益为75000a-（27 000a+9000a²），即收益是x的二次函数，利用二次函数的最值求法，即可求出答案．
解答：解：（1）设一年中这个村修建了x公顷蔬菜大棚，（1分）
则75 000x-（27 000x+9000x²）=60000（2分）
解得：x₁=2，x₂=（4分）
答：一年中这个村修建了2或公顷蔬菜大棚．（5分）

（2）设一年中这个村修建了a公顷蔬菜大棚，
则修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为：75 000a-（27 000a+9000a²）元．（6分）
∵75 000a-（27 000a+9000a²）=-9000（a-）²+64 000（8分）
∴当a=时，75 000a-（27 000a+9000a²）的值最大为64 000元（9分）
答：这个村一年中应修建公顷大棚，收益达到最大64 000元．（10分）
点评：本题重在考查仔细分析题意，利用函数即可解决问题．