Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．
（1）证明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，可得CE=AE=BE，又由AF=CE，可得CE=AE=BE=AF，继而可证得∠5=∠6，即可判定AF∥CE，则可得四边形ACEF是平行四边形；
（2）由当∠B=30°时，在Rt△ABC中，AC=

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AB=AE=CE，可得当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，BE=AE，
∴CE=AE=BE，
又∵CE=AF，
∴CE=AE=BE=AF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠EDB=∠ACD，
∴DG∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∴AF∥CE，
又∵AF=CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：当∠B=30°时，在Rt△ABC中，AC=

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AB=AE=CE，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．

点评：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．