Question

已知关于x的一元二次方程x²+bx+c=x有两个实数根x₁，x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b²＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x²+bx+c，若自变量取值为x₀，其对应的函数值为y₀，则当0＜x₀＜x₁时，试比较y₀与x₁的大小．

Answer 1

（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x²+（b-1）x+c=0，
∵x₁，x₂是该方程的两个实数根
∴x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，
而x₁＞0，x₂＞x₁+1＞0，
∴c＞0；

（2）（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=（b-1）²-4c
=b²-2b-4c+1，
∵x₂-x₁＞1，∴（x₂-x₁）²＞1，
于是b²-2b-4c+1＞1，即b²-2b-4c＞0，
∴b²＞2（b+2c）；

（3）当0＜x₀＜x₁时，有y₀＞x₁，
∵y₀=x₀²+bx₀+c，x₁²+bx₁+c=x₁，
∴y₀-x₁=x₀²+bx₀+c-（x₁²+bx₁+c）=（x₀-x₁）（x₀+x₁+b），
∵0＜x₀＜x₁，
∴x₀-x₁＜0，
又∵x₂-x₁＞1
∴x₂＞x₁+1，x₁+x₂＞2x₁+1，
∵x₁+x₂=-（b-1）∴-（b-1）＞2x₁+1，
于是2x₁+b＜0
∵0＜x₀＜x₁
∴x₀+x₁+b＜0，
由于x₀-x₁＜0，x₀+x₁+b＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀+x₁+b）＞0，即y₀-x₁＞0，
∴当0＜x₀＜x₁时，有y₀＞x₁．