Question

10．已知抛物线C₁：y=-x²-2ax-2x-a²-3a+1的顶点在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）当a=1时，将抛物线沿直线l平移，得到的新抛物线与直线l交于M、N两点，与x轴交于E、F两点，若EF=2$\sqrt{2}$MN．求新抛物线的解析式；
（3）设抛物线y=-x²+c与x轴交于A、B（A左B右）两点，与y轴正半轴交于C点，在抛物线第一象限上有一点P，连接PA、PC，∠APC=2∠PAB，若△PAC的面积为3，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为[-（a+1），-a+2]，利用坐标特征可确定直线l的解析式；
（2）如图1，设平移后的抛物线解析式为y=-（x-t）²+t+3，先通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-（x-t）^{2}+t+3}\end{array}\right.$得N（t-1，t+2），则可计算出MN=$\sqrt{2}$，所以EF=4，再解方程-（x-t）²+t+3=0得x₁=t+$\sqrt{t+3}$，x₂=t-$\sqrt{t+3}$，则EF=2$\sqrt{t+3}$，所以2$\sqrt{t+3}$=4，然后求出t即可得到平移后的抛物线解析式；
（3）如图2，作PH⊥x轴于H，先证明PA=PD得AH=DH，再确定A（-$\sqrt{c}$，0），C（0，c），设P（m，-m²+c），m＞0，则D（2m+$\sqrt{c}$，0），利用待定系数法表示出直线CD的解析式为y=-mx+c，把D（2m+$\sqrt{c}$，0）代入得-m（2m+$\sqrt{c}$）+c=0，则$\sqrt{c}$=2m或$\sqrt{c}$=-m（舍去），接着利用三角形面积公式，利用S_△ACP=S_△ACD-S_△APD得到$\frac{1}{2}$（2m+2$\sqrt{c}$）[c-（-m²+c）]=3，然后把$\sqrt{c}$=2m代入可求出m的值，从而得到c的值．

解答 解：（1）∵y=-x²-2ax-2x-a²-3a+1=-[x+（a+1）]²-a+2，
∴抛物线的顶点坐标为[-（a+1），-a+2]，
而-a+2=-（a+1）+3，
∴顶点在y=x+3上，
即直线l的解析式为y=x+3；

（2）当a=1时，抛物线解析式为y=-（x+2）²+1，
如图1，设平移后的抛物线解析式为y=-（x-t）²+t+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-（x-t）^{2}+t+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t+3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+2}\end{array}\right.$，
则N（t-1，t+2），
∴MN=$\sqrt{（t-t+1）^{2}+（t+3-t-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵EF=2$\sqrt{2}$MN，
∴EF=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，
设E（x₁，0），F（x₂，0），
解方程-（x-t）²+t+3=0得x₁=t+$\sqrt{t+3}$，x₂=t-$\sqrt{t+3}$，
∴EF=t+$\sqrt{t+3}$-t+$\sqrt{t+3}$=2$\sqrt{t+3}$，
∴2$\sqrt{t+3}$=4，解得t=-1，
∴平移后的抛物线解析式为y=-（x+1）²+2；

（3）如图2，作PH⊥x轴于H，
∵∠APC=2∠PAB，
而∠APC=∠PAB+∠PDA，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD，
∴AH=DH，
当y=0时，-x²+c=0，解得x₁=$\sqrt{c}$，x₂=-$\sqrt{c}$，则A（-$\sqrt{c}$，0），
当x=0时，y=-x²+c，则C（0，c），
设P（m，-m²+c），m＞0，则D（2m+$\sqrt{c}$，0），
设直线CD的解析式为y=kx+c，把P（m，-m²+c）代入得-m²+c=mk+c，解得k=-m，
∴直线CD的解析式为y=-mx+c，
把D（2m+$\sqrt{c}$，0）代入得-m（2m+$\sqrt{c}$）+c=0，
整理得c-m$\sqrt{c}$-2m²=0，解得$\sqrt{c}$=2m或$\sqrt{c}$=-m（舍去），
∵S_△ACP=S_△ACD-S_△APD，
∴$\frac{1}{2}$（2m+2$\sqrt{c}$）[c-（-m²+c）]=3，
整理得（m+$\sqrt{c}$）•m²=3，
∴（m+2m）•m²=3，
解得m=1，
∴$\sqrt{c}$=2m=2，
∴c=4．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会通过解方程组求二次函数与一次函数的交点坐标；理解坐标与图形性质．