Question

（本题满分10分）已知AB为⊙O直径，以ＯＡ为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E。
（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；
（2）证明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值。

Answer 1

（1）以MB为直径作圆，与⊙M相交于点D，直线BD即为另一条切线。
（2）证明：∵BC切圆与点C，所以有∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA；
∵OA、AB分别为⊙M、⊙O的直径 ∴∠AEC=∠ACO=90°，
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，∴∠EAC=∠OAC= OCB

（3）连结DM，则∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=.
∵△BON∽△BDM ∴ ∴ ∴BN=。

解析