Question

如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=-x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S₁、S₂，S=S₂-S₁，求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A点的坐标代入反比例函数与一次函数的解析式，求出m，b即可；
（2）设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，-x+4），求出四边形MDOC和MDEN的面积，代入求出S=（-x²+4x）-3，把上式化成顶点式，即可求出答案．
解答：（1）解：把A（1，3）的坐标分别代入y=、y=-x+b，
∴m=xy=3，3=-1+b，
∴m=3，b=4．

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=-x+4，
∵直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，
∴可设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，-x+4），其中，x＞0，
又∵MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴四边形MDOC、NEOC都是矩形，
∴S₁=x•=3，S₂=x•（-x+4）=-x²+4x，
∴S=S₂-S₁=（-x²+4x）-3=-（x-2）²+1．其中，x＞0，
∵a=-1＜0，开口向下，
∴有最大值，
∴当x=2时，S取最大值，其最大值为1．
点评：本题考查了用法待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的几何意义，配方法的应用等知识点的运用，本题综合性比较强，通过做此题培养了学生的计算能力和推理能力，题目比较好，难度适中．