Question

如图，已知y=x²-ax+a+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，8），直线CD平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C?D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A?B运动，连接PQ，CB，设点P的运动时间t秒．（0＜t＜2）．
（1）求a的值；
（2）当t为何值时，PQ平行于y轴；
（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

Answer 1

解：（1）把（0，8）代入函数式可得，a+2=8，
解得：a=6．
函数解析式是：y=x²-6x+8；

（2）根据二次函数的对称性，可令y=8，
即x²-6x+8=8，
解得，x₁=0，x₂=6，
则C点的坐标是（6，8）；
令y=0，即x²-6x+8=0，
解得，x₁=2，x₂=4，
那么A的坐标是（2，0）．B点的坐标是（4，0），
根据题意，得OQ=DP，即OA+AQ=CD-CP，
因此2+t=6-2t，
解得，t=；

（3）∵S_{四边形PQBC}=S_△PQB+S_△PCB，
∴S_{四边形PQBC}=×（2-t）×8+×2t×8=8+4t．
根据题意得，8+4t=14，
解得，t=．
分析：（1）把（0，8）的值代入函数中，就可求出a的值，于是能得到函数的解析式；
（2）根据题意可知，当OQ=DP，即OA+AQ=CD-CP时，PQ∥y轴，解之可得t的值；
（3）S_{四边形PQBC}=S_△PQB+S_△PCB=AB×8+CD×8=8+4t，令8+4t=14，可求出t的值．
点评：本题利用了二次函数的对称性，以及三角形的面积公式等知识，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．