Question

11．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿AE折叠点．D的对应点为D′．
（1）求点D′刚好落在对角线AC上时，D′C的长；
（2）求点D′刚好落在此对称轴上时，线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可得到结论；
（2）①当D′落在对称轴GH上，由翻折的性质得到AD′=AD，∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAD′，求得GA=$\frac{1}{2}$AD′，根据三角形的内角和得到∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAD′=30°，根据三角函数的定即可得到结论；②当D′落在对称轴MN上，又分两种情况，第一种：点E在DC上，如图3，得到DM=AN=4，由翻折的性质得到AD′=AD，在Rt△AND′中，由勾股定理得到D′N=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{N}^{2}}$=3，得到D′M=MN-D′N=5-3=2，设DE=ED′=x，在Rt△EAD′中，根据勾股定理得到DE=$\frac{5}{2}$，第二种：点E在DC延长线上，同理得到结论．

解答 解：（1）如图1，在Rt△ABC中，
∵∴AD′=AD=5，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{64+25}$=$\sqrt{89}$，
∴CD′=AC-AD′=$\sqrt{89}$-5；

（2）①当D′落在对称轴GH上，
∵GH是矩形对称轴，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD，
由翻折的性质得：AD′=AD，∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAD′，
∴GA=$\frac{1}{2}$AD′，
∴在Rt△AGD′中，∠GAD′=60°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAD′=30°，
在Rt△ADE中，
∵tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$，即：tan30°=$\frac{DE}{5}$，
∴DE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
②当D′落在对称轴MN上，又分两种情况，
第一种：点E在DC上，如图3，
∵MN是矩形对称轴，
∴DM=AN=4，
由翻折得：AD′=AD，
在Rt△AND′中，
D′N=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴D′M=MN-D′N=5-3=2，
设DE=ED′=x，
在Rt△EAD′中，
ED′²=EM²+MD′²，
即：x²=（4-x）²+2²，
解之得：x=$\frac{5}{2}$，即DE=$\frac{5}{2}$，
第二种：点E在DC延长线上，如图4，方法同上，DE=10．
综上所述，点D′落在矩形对称轴上时，DE的长为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或$\frac{5}{2}$或10．

点评 本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．