Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现 当a=0°时，线段BD，CE的数量关系是______；

（2）拓展探究 当0°≤a＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）问题解决 设DE=，BC=3，0°≤α＜360°，△ADE旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）BD=EC；（2）结论不变；（3）4或2．

【解析】

（1）利用平行线的性质，想办法证明AD=AE即可解决问题；

（2）结论不变，只要证明△BAD≌△CAE即可；

（3）分两种情形画出图形求解即可；

（1）如图1中，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°．

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠AED=45°，∴AD=AE，∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=EC．

故答案为：BD=EC．

（2）如图2中，结论不变．

理由：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC．

（3）如图3中，∵BC=3，DE=，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC=3，AD=AE=1，当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=4．

如图4中，当点E在线段AB上时，BE=AB﹣AE=2．

综上所述：BE的长为4或2．