Question

18．在矩形纸片ABCD中，AE=CG=$\sqrt{3}$，点P，Q分别是在边AB，CD上，BP=DQ，将△BGP和△DEQ分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是D′，B′，若四边形ED′GB′是有一边平行于AB的菱形（如图甲或图乙所示），且∠D′EB′=30°，则AP的长是2$\sqrt{3}$+1或3．

Answer 1

分析 分两种切线计算①图甲，设BP长为x，作B′M⊥AP，利用特殊角可求出PM及PB′的长，从而可以求出AP的长．
②图乙中，设PB′交ED′于F，GB′交QD′于H，则四边形FB′HD′是矩形，由题意四边形DED′Q，四边形PBGB′都是正方形，四边形QCGH，四边形APFE都是矩形，设DE=ED′=EB′=GB′=QD′=x，列出方程即可解决问题．

解答 解：①如图甲中，作B′M⊥AP．

∵∠D′EB′=30°，四边形ED′GB′是菱形，
∴∠D′GB′=30°，
∵D′G∥AB，
∴∠B′GB=60°，
∵∠B′GB=∠BGP，BP=BP′
∴∠B′GB=30°，
∴∠B′PM=60°，
∵EA⊥AP，EB′∥AP，B′M⊥AP，
∴B′M=AE=$\sqrt{3}$，
∴PM=1，B′P=2，
∴GB′=2$\sqrt{3}$，
∴AM=EB′=GB′=2$\sqrt{3}$，
∴AP=2$\sqrt{3}$+1．
②如图乙中，设PB′交ED′于F，GB′交QD′于H，则四边形FB′HD′是矩形，

由题意四边形DED′Q，四边形PBGB′都是正方形，四边形QCGH，四边形APFE都是矩形，
设DE=ED′=EB′=GB′=QD′=x，
∵∠B′EF=30°，
∴FB′=$\frac{1}{2}$x，
易知QH=CG=$\sqrt{3}$，
∴HD′=$\frac{1}{2}$x=x-$\sqrt{3}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴AP=EF=EB′•cos30°=3，
综上所述，AP=2$\sqrt{3}$+1或3，
故答案为：2$\sqrt{3}$+1或3．

点评 本题考察的性质是折叠的性质、直角三角形的性质、菱形的性质，解题的关键是通过作辅助线将特殊角与已知边建立联系，通过三角函数求出边．