Question

如图，函数L₁：y=a（x-2）²+4（x＞0）的图象顶点为M，过点B（4，0），将图象绕原点旋转180°后得到函数L₂的图象，顶点为N，与x轴交于点A．
（1）分别求出L₁、L₂的函数解析式；
（2）P为抛物线L₁上一动点，连接PO交L₂于Q，连接PN、QN、PM、QM．求：平行四边形PMQN的面积S与P点横坐标x（0＜x≤4）间关系式；
（3）求出平行四边形PMQN的面积S的最大值，及此时P点的坐标．

Answer 1

解：（1）把B（4，0）代入y=a（x-2）²+4得：a=-1，
则抛物线L₁：y=-x²+4x，抛物线L₂：y=x²+4x；

（2）根据P点位置进行分类讨论：
（i）若P点在抛物线的BM段（2＜x≤4）时，S_△POM=+-=x²-2x，
则S_{平行四边形PMQN}=4S_△POM=4x²-8x；
（ii）若P点在抛物线的OM段（0＜x＜2）时，S_△POM=+-=-x²+2x，
则S_{平行四边形PMQN}=4S_△POM=-4x²+8x；

（3）当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，当x=4时，S最大=32，
当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x=1时，S最大=4，
∴当x=4时，S最大=32，此时P点坐标为（4，0）．
分析：（1）因为函数L₁过点B，所以把点B的坐标代入到L₁的解析式中求出a的值即可得到函数L₁的解析式；由图象绕原点旋转180°可知函数L₁和函数L₂关于原点对称，根据对称的特点即可得到函数L₂的解析式．
（2）由对称性可知四边形PNQM为平行四边形，根据平行四边形的特点可知平行四边形的面积等于三角形POM面积的4倍，分别过M和P作x轴的垂线，交x轴分别为C和D点，然后利用梯形MPDC的面积加上三角形MOC的面积减去三角形POD的面积即可表示出三角形POM的面积，即可得到S与x的关系式；同理，可用梯形PDCM的面积加上三角形OPD的面积减去三角形OMC的面积即可表示出三角形OPM的面积，即可得到S与x的关系式；
（3）当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，把x代入到（2）求出的S与x的关系式中即可求出S的最大值；又0＜x＜2时，y随x的增大而减小，把x=1代入到S与x的关系式中即可求出S的最大值，两个最大值比较即可得到最大，然后根据此时的x的值即可得到P的坐标．
点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，考查了分类讨论的数学思想，掌握二次函数的增减性，是一道综合题．