Question

设关于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

Answer 1

分析：求出二根x₁=

2-k

k-4

，x₂=

k+2

2-k

，从中消去k得x₁x₂+3x₁+2=0，分解得x₁（x₂+3）=-2．借助方程组得k=6，3，

10

3

．

解答：解：原方程可化为（k-4）（k-2）x²+（2k²-6k-4）x+（k-2）（k+2）=0，[（k-4）x+（k-2）][（k-2）x+（k+2）]=0．
∵（k-4）（k-2）≠0
∴x₁=-1-

2

k-4

，
x₂=-1-

4

k-2

；
∴k-4=-

2

x1+1

（x₁≠-1）①
k-2=-

4

x2+1

（x₂≠-1）②
由①②消去k，得 x₁•x₂+3x₁+2=0．
∴x₁（x₂+3）=-2．
由于x₁，x₂都是整数．
∴

x1=-2 x2+3=1

，

x1=1 x2+3=-2

，

x1=2 x2+3=-1

，即

x1=-2 x2=-2

，

x1=1 x2=-5

，

x1=2 x2=-4

∴k=6，3，

10

3

．
经检验，k=6，3，

10

3

满足题意．

点评：本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0 是隐含的条件，应考虑．将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键．