Question

15．如图，点A、B分别位于x轴负、正半轴上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，C（0，3），且S_△ABC=6．
（1）求线段AB的长；
（2）求∠ABC的度数；
（3）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；
（4）y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点C的坐标确定出OC的长，根据三角形ABC面积求出AB的长即可；
（2）根据OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，表示出OA+OB，即为AB的长，进而求出m的值，确定出方程，求出解得到A与B坐标，得到三角形OBC为等腰直角三角形，即可求出∠ABC的度数；
（3）如图1所示，作CD⊥AC，交x轴于点D，根据同角的余角相等及一对公共角，得到三角形AOC与三角形COD相似，由相似得比例求出OD的长，即可确定出点D的坐标；
（4）y轴上存在点P，使∠PBA=∠ACB，理由为：y轴上存在点P，使∠PBA=∠CAB，如图2所示，过点B作PB∥AC，设直线AC解析式为y=kx+b，把点A和点C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，进而求出直线PB解析式，求出点P坐标，再利用对称性求出点P′坐标即可．

解答 解：（1）∵点C（0，3），
∴OC=3，
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$×AB×OC=6，
∴AB=4；
（2）∵OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，
∵OA+OB=4m，
∴4m=4，即m=1，
∴方程可化为：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
（3）如图1所示，作CD⊥AC，交x轴于点D，

∵∠AOC=∠ACD=90°，
∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠CAO=∠DCO，
∴△AOC∽△COD，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OC}{OD}$，
∴OD=$\frac{O{C}^{2}}{AO}$=9，
∴D（9，0）；
（4）y轴上存在点P，使∠PBA=∠CAB，如图2所示，

过点B作PB∥AC，
设直线AC解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=3x+3，
设直线PB解析式为y=3x+b，
把B（3，0）代入得：0=9+b，即b=-9，
∴直线PB的解析式为：y=3x-9，
∴P点的坐标为（0，-9），根据对称性得P′（0，9），
则y轴上存在点P，使∠PBA=∠ACB，此时P坐标为（0，-9）或（0，9）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，解一元二次方程-因式分解法，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．