[数学思考]如图1.四边形ABCD是正方形.点G是BC上的任意一点.DE⊥AG.BF⊥AG.垂足分别为E.F．试判断DE.BF.EF的数量关系.并说明理由．[类比探究]如图2.四边形ABCD是菱形.点G是BC上的任意一点.E.F是AG上的两点.∠AED=∠BFA=∠α．若要使(1)中的结论仍然成立.则∠DAB与∠α应满足的关系是互补．[拓展延伸]如图3.四边形ABCD内� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．【数学思考】
如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG，BF⊥AG，垂足分别为E，F．试判断DE，BF，EF的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
如图2，四边形ABCD是菱形，点G是BC上的任意一点，E，F是AG上的两点，∠AED=∠BFA=∠α．若要使（1）中的结论仍然成立，则∠DAB与∠α应满足的关系是互补．
【拓展延伸】
如图3，四边形ABCD内接于圆，AB=AD，E，F是AC上的两点，且∠AED=∠BFA=∠BCD．试判断AC，DE，BF的数量关系，并说明理由．
【解决问题】
如图4，在圆的内接四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，若∠DAB=120°，AD=1，AC=3.4，求线段AB的长．

分析数学思考：根据ABCD是正方形，利用正方形的性质和DE⊥AG，BF⊥AG，证明△ABF≌△DAE，得到AF=DE，AE=BF，所以DE-BF=AF-AE=EF；
类比探究：根据△ABF≌△DAE，得到∠DAB与∠α互补（或∠DAB=180°-∠α）；
拓展延伸：结合已知探究及圆内接四边形的性质得△ADE≌△BAF，所以AF=DE，AE=BF，∠ADE=∠BAF，连接BD，根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，得到∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，再证明EC=ED，即可解答；
解决问题：过点D作DE∥AB交AC于点E，过点B作BF∥AD交AC于点F，所以∠DEA=∠BAE=60°，∠BFA=∠DAE=60°，所以△ADE和△ABF是等边三角形，利用等边三角形的性质，AB=BF，AD=DE，由拓展延伸知AC=DE+BF，又DE=AD=1，AC=3.4，所以BF=AC-DE=3.4-1=2.4，所以AB=BF=2.4．

解答解：数学思考：DE-BF=EF．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠AED=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，AE=BF，
∴DE-BF=AF-AE=EF．
类比探究：互补（或∠DAB=180°-∠α）
拓展延伸：AC=DE+BF，
理由如下：结合已知探究及圆内接四边形的性质得△ADE≌△BAF，
∴AF=DE，AE=BF，∠ADE=∠BAF，
如图（1）连接BD，

则∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，
∴∠CDB=∠ADE，
∴∠ADB=∠CDE，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠CDE=∠ABD，
又∵∠ABD=∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD，
∴EC=ED，
∴AC=AE+EC=DE+BF．
解决问题：如图2，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点B作BF∥AD交AC于点F．

∵对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠DAE=∠BAE=60°，
∵DE∥AB，BF∥AD，
∴∠DEA=∠BAE=60°，∠BFA=∠DAE=60°，
∴△ADE和△ABF是等边三角形，
∴∠DEC=∠BFC=∠DAB=120°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴CB=CD，
由拓展延伸知AC=DE+BF，
又∵DE=AD=1，AC=3.4，
∴BF=AC-DE=3.4-1=2.4，
∴AB=BF=2.4．

点评本题考查了正方形，菱形，全等三角形的性质与判定以及圆的性质，解决本题的关键是利用全等全等三角形的对应边相等，等边三角形的性质得到相等的边，以及在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想的应用．

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