Question

（1997•安徽）△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．

Answer 1

分析：求出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF，根据等腰三角形性质推出即可．

解答：证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中

AD=AD DE=DF

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF（三线合一）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质的应用，注意：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，③等腰三角形的顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边．