Question

1．如图，直线l：y=-$\frac{4}{3}$x，点A₁坐标为（-3，0）．过点A₁作x轴的垂线交直线l于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴负半轴于点A₂，再过点A₂作x轴的垂线交直线l于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴负半轴于点A₃，…，按此做法进行下去，点A₂₀₁₆的坐标为（-$\frac{{5}^{2015}}{{3}^{2014}}$，0）．

Answer 1

分析 先根据一次函数解析式求出B₁点的坐标，再根据B₁点的坐标求出OA₂的长，用同样的方法得出OA₃，OA₄的长，以此类推，总结规律便可求出点A₂₀₁₆的坐标．

解答 解：∵点A₁坐标为（-3，0），
∴OA₁=3，
∵在y=-$\frac{4}{3}$x中，当x=-3时，y=4，即B₁点的坐标为（-3，4），
∴由勾股定理可得OB₁=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，即OA₂=5=3×$\frac{5}{3}$，
同理可得，
OB₂=$\frac{25}{3}$，即OA₃=$\frac{25}{3}$=5×（$\frac{5}{3}$）¹，
OB₃=$\frac{125}{9}$，即OA₄=$\frac{125}{9}$=5×（$\frac{5}{3}$）²，
以此类推，
OA_n=5×（$\frac{5}{3}$）^n-2=$\frac{{5}^{n-1}}{{3}^{n-2}}$，
即点A_n坐标为（-$\frac{{5}^{n-1}}{{3}^{n-2}}$，0），
当n=2016时，点A₂₀₁₆坐标为（-$\frac{{5}^{2015}}{{3}^{2014}}$，0）．
故答案为：（-$\frac{{5}^{2015}}{{3}^{2014}}$，0）

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的运用，解题的关键是根据OA₁，OA₂，OA₃，OA₄的长总结规律，进而得到OA_n的长．解题时注意，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．