Question

下表给出了代数式x²+bx+c与x的一些对应值：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
X2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格中空白处的对应值；
（2）代数式x²+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由；
（3）设y=x²+bx+c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连接PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．

Answer 1

（1）由题意知：

c=3 4+2b+c=-1

解得b=-4（1分）

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
X2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2）∵x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1
∴x²-4x+3有最小值，最小值为-1；（3分）

（3）由（1）可知，点A、B的坐标分别为（1，0），（3，0）、设点P的坐标为（x，0），过点E作EM⊥x轴于点M，
∵PE∥AC，∴△EPB∽△CAB
∵EM、CO分别为△EPB与△CAB边上的高，
∴

EM

CO

=

PB

AB

（4分）
∵CO=3，AB=2，PB=3-x，∴EM=

3

2

(3-x)（5分）
∴S_△PEC=S_△PBC-S_△PBE=

1

2

PB•CO-

1

2

PB•EM（6分）
=

1

2

(3-x)[3-

3(3-x)

2

]=-

3

4

(x-2)2+

3

4

（7分）
∴当x=2时，S有最大值

3

4

；
∴当点P的坐标为（2，0）时，△PEC的面积最大．（8分）