Question

20．如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$与矩形OABC两边AB，BC分别交于E，F．若将三角形BEF沿直线EF对折，点D刚好落在x轴上的D点，其中OA=1，AB=2，则k的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先证得∠GED=∠CDF，然后利用两角法判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（k，1），点F坐标为（2，$\frac{k}{2}$），即可得CF=$\frac{k}{2}$，BF=DF=1-$\frac{k}{2}$，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．

解答 解：由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
设点E坐标为（k，1），点F坐标为（2，$\frac{k}{2}$），
则CF=$\frac{k}{2}$，BF=DF=1-$\frac{k}{2}$，ED=BE=AB-AE=2-k，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{D{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{（1-\frac{k}{2}）^{2}-（\frac{k}{2}）^{2}}$=$\sqrt{1-k}$，
∵$\frac{CD}{GE}$=$\frac{DF}{ED}$，即$\frac{\sqrt{1-k}}{1}$=$\frac{1-\frac{k}{2}}{2-k}$，
∴$\sqrt{1-k}$=$\frac{1}{2}$，
解得：k=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质，难度较大．