已知.点O是等边△ABC内的任一点.连接OA.OB.OC．(1)如图1.已知∠AOB=150°.∠BOC=120°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°,②用等式表示线段OA.OB.OC之间的数量关系.并证明,(2)设∠AOB=α.∠BOC=β．①当α.β满足什么关系时.OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

7．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
①∠DAO的度数是90°；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．

分析（1）①根据周角的定义得到∠AOC=360°-120°-150°=90°，由于将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根据四边形的内角和即可得到结论；②如图1，连接OD，由于△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根据全等三角形的性质得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根据勾股定理即可得到结论；
（2）①如图2，由旋转的性质得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四点B，O，O′，A′共线，即可得到结论，②根据①的结论即可得到结果．

解答解：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=360°-120°-150°=90°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°-∠AOC-∠OCD-∠D=90°，
故答案为：90°；
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA²+OB²=OC²，
如图1，连接OD，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，
∴∠DAO=90°，
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴OA²+OB²=OD²，
∴OA²+OB²=OC²；

（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，
∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，
∠A′O′C=∠AOC．
∴△OC O′是等边三角形，
∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A′O′C=120°，
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，
∴四点B，O，O′，A′共线，
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；
②∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴O为△ABC的中心，
∵四点B，O，O′，A′共线，
∴BD⊥AC，
∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，
∴A′C=AC=BC，
∴A′B=2BD，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A′B=$\sqrt{3}$，
∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=$\sqrt{3}$．

点评本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的判定和性质，勾股定理，四边形的内角和，周角的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

8．

如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF．
①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE=3$\sqrt{5}$，则EF=5．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

9．

如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（-4，6），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过BC的中点D，且交AB于点E．
（1）求反比例函数解析式和点E的坐标；
（2）求S_△AEO．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

6．

如图，在?ABCD中，AB=5，对角线交于点O，△OCD的周长为23，则?ABCD的两条对角线长的和是（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

2．

如图，是二次函数y=（x-h）²+k的图象，则其解析式为y=（x-1）²-4．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

12．

复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a-2b+c＜0；“思宇”说：⑤c-a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是①②③⑤．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

19．

如图，反比例函数y=$\frac{m-2}{x}$的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在第四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（2）常数m的取值范围是m＜2；
（3）若此反比例函数的图象经过点（-2，3），求m的值．点A（-5，2）是否在这个函数图象上？点B（-3，4）呢？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．已知，如图，点D在射线AB上，且AD=2，点P是射线AC上的一个动点，线段PD的垂直平分线与射线AC交于点E，与∠BAC的平分线交于点F．连结DF、PF、EF．
（1）当DF∥AC时，求证：AD=PF．
（2）当∠BAC=60°时，设AP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式．