Question

如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=

3

4

x+6的图象为直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，垂直于l₁的直线l₂从C（12，0）出发沿射线CO方向，以每秒5个单位的速度运动，同时P、Q两点从A点出发，其中P沿A→B→O方向运动，速度为每秒4个单位，点Q沿射线AO方向运动，速度为每秒5各单位，当P点到达O点时，所有运动停止；
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当P、Q、l₂运动了t秒时，以Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂相切，求t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；
（2）①当0≤t≤1.6秒时，根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．②当2.5≤t≤4秒时，根据相似三角形的判定得出△QDF∽△AOB，求得DQ，最后根据PQ=DQ，应用勾股定理得到（16-4t）²+（5t-8）²=（8t-16）²，解这个方程即可求得；

解答：解：（1）∵直线y=

3

4

x+6的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴y=0时，x=-8，
∴A（-8，0），AO=8，
∵图象与y轴交点坐标为：（0，6），BO=6，
∴由勾股定理得 AB=

62+82

=10．
综上所述，A（-8，0），AB=10；

（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，

AP

AO

=

AQ

AB

=

t

2

，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵点P在l₁上，
∴⊙Q在运动过程中保持与l₁相切，
①如图1，当0≤t≤1.6秒时．
由题意可得PQ=DQ且AQ=FC=5t，AP=4t
∵△APQ∽△AOB，
∴

PQ

OB

=

AP

OB

，
即

PQ

6

=

4t

8

，解得PQ=3t，
∵直线l₁的斜率是

3

4

，
∴直线l₂的斜率为-

4

3

，
∴tan∠DFQ=

4

3

，
∴FQ=

15

4

t，
∵AQ+FQ+FC=20
∴5 t+

15

4

t+5t=20
所以t=

16

11

秒＜1.6；
如图2、当1.6≤t≤2.5秒时
∵AQ+FC-FQ=20，
∴5t+5t-

15

4

t=20，
所以t=

16

5

秒＞2.5（舍去），
如图3、当2.5≤t≤4秒时
∵OQ=5t-8，OF=5t-12，
∴FQ=OQ+OF=10t-20，
∵△QDF∽△AOB，
∴

DQ

OA

=

FQ

AB

，
即

DQ

8

=

10t-20

10

，
∴DQ=8t-16，
∵OP=16-4t，OQ=5t-8，
∴PQ²=OP²+OQ²=（16-4t）²+（5t-8）²，
∵PQ=DQ，
∴（16-4t）²+（5t-8）²=（8t-16）²，
整理得：23t²-48t-40=0，
解得：t=

24+32 2

23

，t=

24-32 2

23

（舍去），
所以以Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂相切时t的值为

16

11

秒或

24+32 2

23

秒．

点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案．