Question

已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；
（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为

2

，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD．
①求∠BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，再证明△BCG≌△DCE就可以得出结论；
（2）①根据平行线的性质可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≌△BCE，得出BG=BE得出△BDE为正三角形就可以得出结论；
②延长EC交BD于点H，通过证明△BCE≌△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH=

1

2

BD，由勾股定理就可以求出EH的值，从而求出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°．
∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS）．
∴BG=DE；

（2）解：①连接BE．
由（1）可知：BG=DE．
∵CG∥BD，
∴∠DCG=∠BDC=45°．
∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°．
∵∠GCE=90°，
∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°．
∴∠BCG=∠BCE．
∵BC=BC，CG=CE，
在△BCG和△BCE中，

BC=BC ∠BCG=∠BCE GC=EC

，
∴△BCG≌△BCE（SAS）．
∴BG=BE．
∵BG=BD=DE，
∴BD=BE=DE．
∴△BDE为等边三角形．
∴∠BDE=60°．
②延长EC交BD于点H，
在△BCE和△BCG中，

DE=BE DC=BC CE=CE

，
∴△BCE≌△BCG（SSS），
∴∠BEC=∠DEC，
∴EH⊥BD，BH=

1

2

BD．
∵BC=CD=

2

，在Rt△BCD中由勾股定理，得
∴BD=

BC2+CD2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2．
∴BH=1．
∴CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得
EH=

3

，
∴CE=

3

-1．
∴正方形CEFG的边长为

3

-1．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．