练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    1．已知：如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x-3与坐标轴交于点A，C，经过点A，C的抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点B（2，0）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点D是抛物线在第三象限图象上的动点，是否存在点D，使得△DAC的面积最大？若存在，请求这个最大值并求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）过点D作DE⊥x轴于E，交AC于F，若AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分，请求出此时点D的坐标．

    分析 （1）首先得出A点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
    （2）首先表示出DF的长，再利用S△ADC=S△ADF+S△DFC，进而得出面积与点坐标的函数解析式，即可求最值得出答案；
    （3）分别利用①当DF：EF=1：4时，（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=1：4，②当DF：EF=4：1时，分别得出点D的坐标．

    解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x-3中，当y=0时，x=-6，
    即点A的坐标为：（-6，0），
    将A（-6，0），B（2，0）代入y=ax2+bx-3得：
    $\left\{\begin{array}{l}{36a-6b-3=0}\\{4a+2b-3=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x2+x-3；

    （2）设点D的坐标为：（m，$\frac{1}{4}$m2+m-3），则点F的坐标为：（m，-$\frac{1}{2}$m-3），
    ∴DF=-$\frac{1}{2}$m-3-（$\frac{1}{4}$m2+m-3）=-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m，
    ∴S△ADC=S△ADF+S△DFC
    =$\frac{1}{2}$DF•AE+$\frac{1}{2}$•DF•OE
    =$\frac{1}{2}$DF•OA
    =$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）×6
    =-$\frac{3}{4}$m2-$\frac{9}{2}$m
    =-$\frac{3}{4}$（m-3）2+$\frac{27}{4}$，
    ∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，
    ∴抛物线开口向下，
    ∴当m=3时，S△ADC存在最大值$\frac{27}{4}$，
    又∵当m=3时，$\frac{1}{4}$m2+m-3=-$\frac{15}{4}$，
    ∴存在点D（3，-$\frac{15}{4}$），使得△ADC的面积最大，最大值为$\frac{27}{4}$；

    （3）由题意可得△ADE的面积分成1：4两部分即是点F将DE分成1：4两部分
    ①当DF：EF=1：4时，（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=1：4，
    解得：m1=-$\frac{1}{2}$，m2=-6（不合题意，舍去），
    当m=-$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{4}$m2+m-3=-$\frac{55}{16}$，
    ∴点D的坐标为：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{55}{16}$），
    ②当DF：EF=4：1时，（-$\frac{1}{4}$m2-$\frac{3}{2}$m）：（$\frac{1}{2}$m+3）=4：1，
    解得：m1=-6（不合题意，舍去），m2=-8（不合题意，舍去），
    综上所述存在点D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{55}{16}$），使得AC恰好将△ADE的面积分成1：4两部分．

    点评 此题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法等知识，正确表示出线段DF的长是解题关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    11．从概率统计的角度解读下列诗词所描述的事件．其中属于确定事件的是（　　）
    A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开
    C．水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯D．一夜北风紧，开门雪尚飘

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．某地某一时刻的地面温度为10℃，高度每增加1km，温度下降4℃，则下列说法中：①10℃是常量；②高度是变量；③温度是变量；④该地某一高度这一时刻的温度y（℃）与高度x（km）的关系式为y=10-4x；正确的是（　　）
    A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    9．如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（　　）
    A．12B．14C．16D．18

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    16．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第10个三角数记为a10，则a9+a10=100．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接ED，若ED=EC．
    （1）求证：AB=AC；
    （2）填空：①若AB=6，CD=4，则BC=4$\sqrt{3}$；
    ②连接OD，当∠A的度数为60°时，四边形ODEB是菱形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{3-2x＞-1}\end{array}\right.$的整数解共有4个，则a的取值范围是-3＜a≤-2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    10．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞0}\\{-x＞-5}\end{array}\right.$的解集是$\frac{3}{2}$＜x＜5．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．（1）解方程：$\frac{2}{x-3}$-1=$\frac{1}{3-x}$
    （2）解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{2（x+2）＜3x+3}\\{\frac{x+1}{4}＞\frac{x}{3}}\end{array}\right.$．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案