Question

【题目】已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F.

（1）求证：BD＝CD：

（2）如果AB2＝AO·AD，求证：四边形ABDC是菱形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）连接BC，根据垂直平分线的性质即可解答

（2）连接OB，先求出△ABO∽△ADB，再利用相似的性质，求出四边形ABDC的四边相等，即可解答

（1）连接BC，

在⊙O中，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形

又∵AD经过圆心O，∴AD垂直平分BC ∴BD＝CD.

（2）连接OB.

∵AB2＝AO·AD，

又∵∠BAO＝∠DAB，

∴△ABO∽△ADB

∴∠OBA＝∠BDA

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB.

∴∠OAB＝∠BDA

∴AB＝BD.

又∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝AC＝BD＝CD.

∴四边形ABDC是菱形.