Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF，交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.

（1）求证：BF是⊙A的切线；

（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给与证明.

（3）若EF=1，AE=2，求cos∠CBA的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠CAB=，四边形ADFE为菱形，理由见解析.（3）

【解析】

（1）根据平行线的性质得∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，加上∠E=∠EFA，则∠FAB=∠CAB，于是可判断△ABC≌△ABF，从而得到∠AFB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BF是⊙A的切线；

（2）当∠CAB=60°，则∠FAB=∠EAF=60°，于是可证△AEF和△ADF都为等边三角形，所以AE=EF=AD=DF，然后根据菱形的判定方法可判断此时四边形ADFE是菱形;

(3)连接FC，证明∠ACF=∠CBA即可.

（1）证明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF（SAS），

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AF，

∵AF是⊙A的半径，

∴BF是⊙A的切线；

（2）解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．

理由如下：∵∠CAB=60°，

∴∠FAB=∠EAF=60°，

∵AE=AF=AD，

∴△AEF和△ADF都为等边三角形，

∴AE=EF=AD=DF，

∴四边形ADFE是菱形．

（3）连FC，

∵EC为直径，

∴∠EFC=90°

∵EF=1，AE=2，

∴FC=，

∵A为EC的中点，EF∥AB，

∴AB垂直平分线FC，交AB于P，则CP=

又∠ABC=∠ACP

cos∠ABC=∠ACP==