分析 (1)根据等腰三角形的性质,由AB=AC,AD=DC得∠C=∠B,∠1=∠C,则∠1=∠B,根据圆周角定理得∠E=∠B,∠ADE=90°,所以∠1+∠EAD=90°,然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AC于点F,如图,根据等腰三角形的性质得CF=$\frac{1}{2}$AC=3,在Rt△CDF中,利用正弦定义得sinC=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{4}{5}$,则设DF=4x,DC=5x,利用勾股定理得CF=3x,所以3x=3,解得x=1,于是得到DC=AD=5,然后证明△ADE∽△DFC,再利用相似比可计算AE即可.
解答 (1)证明:∵AB=AC,AD=DC,
∴∠C=∠B,∠1=∠C,
∴∠1=∠B,
又∵∠E=∠B,
∴∠1=∠E,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠E+∠EAD=90°,
∴∠1+∠EAD=90°,即∠EAC=90°,
∴AE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:过点D作DF⊥AC于点F,如图,
∵DA=DC,
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=6,
在Rt△CDF中,∵sinC=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{4}{5}$,
设DF=4x,DC=5x,
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=3x,
∴3x=6,解得x=2,
∴DC=10,
∴AD=10,
∵∠ADE=∠DFC=90°,∠E=∠C,
∴△ADE∽△DFC,
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AD}{DF}$,即$\frac{AE}{10}=\frac{10}{8}$=$\frac{5}{4}$,解得AE=$\frac{25}{2}$,
即⊙O的直径为$\frac{25}{2}$.
点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{25}{2}$cm2 | B. | 10cm2 | C. | 5$\sqrt{6}$cm2 | D. | 以上都有可能 |
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