Question

15．如图，桌面上有一半径为r小球向右滚动，前面有一块与桌面垂直的垂直挡板AC和一块与桌面成30°角B的斜挡板AB，两块挡板相交于点A，且有一端都紧靠桌面，如果AC=2．
（1）当r=1.2时，试说明球必先撞击竖直挡板AC．
（2）当r=2时，球同时撞击两块挡板；当r＞2时，球先撞击挡板AB．

Answer 1

分析 设当小球到O'位置时，与AC撞击，作O'E⊥AC交AB于点F，作O'D⊥AB于点D．则O'E=r，AE=2-r．三角函数r表示出O'D的长度．
（1）当r=1.2时求得O'D的长度，只要小于1.2就是先撞击AC；
（2）当O'D=r时，球同时撞击两块挡板，据此列方程求解；
当O'D＜r时，球同时撞击两块挡板，列不等式即可求解．

解答 解：设当小球到O'位置时，与AC撞击，作O'E⊥AC交AB于点F，作O'D⊥AB于点D．
则O'E=r，AE=2-r．
在直角△AEF中，∠AFE=∠ABC=30°，
则EF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$（2-r）．O'F=r+EF=$\sqrt{3}$（2-r）+r．
则O'D=$\frac{1}{2}$O'F=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）r．
（1）当r=1.2时，O'D=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）×1.2=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$+0.6＞1.2，则当当r=1.2时，试说明球必先撞击竖直挡板AC；
（2）当O'D=r时，球同时撞击两块挡板，则$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）r=r，
解得：r=2；
当O'D＜r时，球同时撞击两块挡板，则$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）r＜r，
解得：r＞2．
故答案是：=2；＞2．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．