Question

18．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=$\frac{4}{3}$，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是$\frac{64}{9}$s．

Answer 1

分析 过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA=$\frac{DH}{EH}$=$\frac{4}{3}$，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间．

解答 解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA=$\frac{DH}{EH}$=$\frac{4}{3}$，
设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间=$\frac{5x}{1.25}$=4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=$\frac{4m}{1}$=4（s），
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH的最小值为AQ的长，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{4}{3}$，
∴OC=4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{3}}\\{y=\frac{64}{9}}\end{array}\right.$，则E点坐标为（-$\frac{7}{3}$，$\frac{64}{9}$），
∴AQ=$\frac{64}{9}$，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间=$\frac{\frac{64}{9}}{1}$=$\frac{64}{9}$（s），
即蚂蚁从A到E的最短时间为$\frac{64}{9}$s．
故答案为$\frac{64}{9}$．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．