Question

1．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为1的正方形．
（1）求证：△AEF∽△CEA；
（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AE，EC的长，进而可得到AE：EF=EC：AE，再由公共角∠AEF=∠CEA，即可得出△FEA∽△AEC；
（2）由（1）得出对应角相等∠AFB=∠EAC，再由三角形的外角性质即可得出结论，

解答 证明：（1）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形，
∴AB=BE=EF=FC=1，∠ABE=90°
∴AE=$\sqrt{2}$，EC=2，
∴$\frac{AE}{EF}=\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{EC}{AE}$
又∵∠CEA=∠AEF，
∴△CEA∽△AEF；
（2）∵△AEF∽△CEA，
∴∠AFE=∠EAC．
∵四边形ABEG是正方形，
∴AD∥BC，AG=GE，∠AGE=90°．
∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°，
∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG，
∴∠AFB+∠ACB=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，证明两边成比例是解决问题的关键