Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若AE＝BC，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OC∥DF，且OC＝DF，理由见解析．

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出∠ADB=∠CBD，证明△BOF≌△DOE，得出DE=BF，即可得出结论；
（2）证出CF=BC，得出OC是△BDF的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵O是对角线BD的中点，

∴OB＝OD，

在△BOF和△DOE中，，

∴△BOF≌△DOE（ASA），

∴DE＝BF，

∴DE-AD＝BF﹣BC，

∴AE＝CF；

（2）解：OC∥DF，且OC＝DF，理由如下：

∵AE＝BC，AE＝CF，

∴CF＝BC，

∵OB＝OD，

∴OC是△BDF的中位线，

∴OC∥DF，且OC＝DF．