Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁=-x上一点A（-1，1），过点A作AB⊥x轴于B．在图中画图探究：将一把三角尺的直角顶点P放在线段AO上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与y轴相交于点Q．

（1）判断线段PQ与线段PB的数量关系，就点P运动到图1所示位置时证明你的结论；
（2）当点P在线段AO上滑行时，△POQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，求出所有能使△POQ成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由；
（3）猜想OB、OQ与OP之间的数量关系：

 

．

Answer 1

分析：（1）PQ=PC，过点P作x轴，y轴的垂线PC，PD，证明△PCB≌△PDQ即可；
（2）①当点P与点A重合时，PQ=QO，△POQ是等腰三角形，此时P（-1，1）；
②当点Q在y轴负半轴上，且OP=OQ时，△POQ是等腰三角形，即可求得ON的长，得到P的坐标；
（3）根据（2）中，三条线段的大小关系即可猜想．

解答：解：（1）PQ=PB．
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．
∵点P在直线y₁=-x上，
∴PC=PD．
∵∠PCO=∠COD=∠ODP=90°，
∴∠CPD=90°
又∵∠BPQ=90°，
∴∠BPC=∠QPD，（1分）
∵∠PCB=∠PDQ=90°，
∴△PCB≌△PDQ
∴PB=PQ（2分）

（2）△POQ可能成为等腰三角形、设P（x，x）
①当点P与点A重合时，PQ=QO，△POQ是等腰三角形，此时P（1，1）（3分）
②当点Q在y轴负半轴上，且OP=OQ时，△POQ是等腰三角形（如图）
此时，QN=PM=1-x，ON=x，
所以OQ=QN-ON=1-2x，OP=

2

x，
当1-2x=

2

x时，解得x=

1

2+ 2

，
∴P（-

1

2+ 2

，

1

2+ 2

）（5分）

（3）OB+OQ=

2

OP（6分）
OB-OQ=

2

OP（7分）

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，以及三角形的全等，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．