Question

10．如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）求证：ED=BD；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据点E是△ABC的内心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出∠BED=∠EBD，即可得出答案；
（2）求出BC为△ABC的直径，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠BED=∠EBD，
∴ED=BD；

（2）解：连接CD，

∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵⊙O的直径=6，
∴BC=6，
∵E为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∴BD=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆，三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．