Question

3．如果a，b，c为正整数，且满足a²+b²=c²，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数12，16，20；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=4m，b=4m²-1，c=4m²+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（2）根据勾股数的定义：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数；
（3）得到a²+b²=c²即可得到这是一组勾股数．

解答 解：（1）∵3、4、5是正整数，且3²+4²=5²，
∴3、4、5是一组勾股数；
（2）∵12²+16²=20²，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；  
故答案为12，16，20
（3）∵m表示大于1的整数，
∴由a=4m，b=4m²-1，c=4m²+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a²+b²=（4m）²+（4m²-1）²=16m²+16m⁴-8m²+1=16m⁴+8m²+1，而c²=（4m²+1）²=16m⁴+8m²+1，
∴a²+b²=c²，
∴a、b、c为勾股数．

点评 本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．