Question

17．以△ABC的AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF，连接DC、BF．
（1）如图1，求证：CD=BF且CD⊥BF．
（2）在图2中，（1）中结论是否成立？请证明．

Answer 1

分析 （1）DC=BF且DC⊥BF，可以利用△ADC≌△ABF（SAS）来证明相等，∠ABM+∠BNM=∠NMB=90°来证明垂直．
（2）根据全等三角形的对应角相等以及直角三角形的两锐角互余，即可证得．

解答 证明：（1）∵∠DAB=∠CAF=90°，如图1：

∴∠DAC=∠BAF（等量加等量和相等）
又∵AD=AB，AC=AF
在△ADC与△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABF（SAS）
∴∠ADN=∠ABM，DC=BF
又∵∠ADN+∠DNA=90°
∴∠ABM+∠BNM=90°
∴∠NMB=90°
即DC⊥BF；
（2）

成立，理由如下：
∵∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF（等量加等量和相等）
又∵AD=AB，AC=AF
在△ADC与△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABF（SAS）
∴∠FBA=∠CDA，DC=BF
又∵∠FBA+∠BDA=90°
∴∠CDA+∠BDA=90°
∴∠BDC=90°
即DC⊥BF；

点评 本题考查了正方形的性质及三角形全等的性质，关键是根据图形中两个三角形的位置关系解题．