Question

1．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C₁的两边在坐标轴上，以它的对角线OB₁为边作正方形OB₁B₂C₂，再以正方形OB₁B₂C₂的对角线OB₂为边作正方形OB₂B₃C₃，以此类推…，则正方形OB_n-1B_nC_n的顶点B_n的坐标是当k为自然数，如果n=8k+1时，那么B_n（2^4k，2^4k）；如果n=8k+2时，那么B_n（0，2^4k+1）；如果n=8k+3时，那么B_n（-2^4k+1，2^4k+1）；如果n=8k+4时，那么B_n（-2^4k+2，0）；如果n=8k+5时，那么B_n（-2^4k+2，-2^4k+2）；如果n=8k+6时，那么B_n（0，-2^4k+3）；如果n=8k+7时，那么B_n（2^4k+3，-2^4k+3）；如果n=8k+8时，那么B_n（2^4k+4，0）．．

Answer 1

分析 首先求出B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、B₇、B₈、B₉的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B_n的坐标．

解答 解：∵边长为1的正方形OA₁B₁C₁的两边在坐标轴上，
∴B₁点坐标为（1，1），OB₁=$\sqrt{2}$，
∵正方形OB₁B₂C₂是正方形OA₁B₁C₁的对角线OB为边，
∴OB₂=2，
∴B₂点坐标为（0，2），
同理可知OB₃=2$\sqrt{2}$，B₃点坐标为（-2，2），
同理可知OB₄=4，B₄点坐标为（-4，0），
B₅点坐标为（-4，-4），B₆点坐标为（0，-8），
B₇（8，-8），B₈（16，0），B₉（16，16），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的$\sqrt{2}$倍，
∴当k为自然数，
如果n=8k+1时，那么B_n（2^4k，2^4k）；
如果n=8k+2时，那么B_n（0，2^4k+1）；
如果n=8k+3时，那么B_n（-2^4k+1，2^4k+1）；
如果n=8k+4时，那么B_n（-2^4k+2，0）；
如果n=8k+5时，那么B_n（-2^4k+2，-2^4k+2）；
如果n=8k+6时，那么B_n（0，-2^4k+3）；
如果n=8k+7时，那么B_n（2^4k+3，-2^4k+3）；
如果n=8k+8时，那么B_n（2^4k+4，0）．
故答案为：当k为自然数，如果n=8k+1时，那么B_n（2^4k，2^4k）；如果n=8k+2时，那么B_n（0，2^4k+1）；如果n=8k+3时，那么B_n（-2^4k+1，2^4k+1）；如果n=8k+4时，那么B_n（-2^4k+2，0）；如果n=8k+5时，那么B_n（-2^4k+2，-2^4k+2）；如果n=8k+6时，那么B_n（0，-2^4k+3）；如果n=8k+7时，那么B_n（2^4k+3，-2^4k+3）；如果n=8k+8时，那么B_n（2^4k+4，0）．

点评 本题主要考查正方形的性质，规律型：点的坐标以及分类讨论思想，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的$\sqrt{2}$倍，此题难度较大．