Question

在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（0，3），B是x轴上的动点．把点B绕着点A向逆时针方向旋转60°
得到点C．
（1）如图1，若点C在y轴上，此时，点C的坐标是

 

；如图2，若点C在x轴上，此时，点C的坐标是

 

；
（2）根据（1）中观察和计算，请你猜想一般情况下点C的纵坐标和横坐标之间有什么关系？如果还是猜不出来，可以再画出特殊情形观察，你的猜想是

 

；如果点C在第一象限，你能证明自己的猜想吗？试一试！
（3）连接OC，当点B运动到何处时，OC有最小值？并求出OC的最小值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由△ABC是等边三角形，容易得出结果；
（2）先求出点C在经过点（0，-3）和（

3

，0）的直线上，然后用待定系数法即可求出结果；
（3）先确定使OC最小的点C的位置，即作OC⊥直线y=

3

x-3，垂足即为C，然后求出OC的长，再求出AC的长，求出OB的长，即可确定B的位置．

解答： 解：（1）根据题意：△ABC是等边三角形，
∵A点的坐标为（0，3），
∴若点C在y轴上，此时，点C的坐标是（0，-3），
若点C在x轴上，此时，点C的坐标是（

3

，0）；
故答案为（0，-3），（

3

，0）．
（2）猜想：y=

3

x-3；
证明：如图所示：过C作CD⊥y轴，垂足为D，把CD绕点C向逆时针旋转60°到点G，
连接CG并延长与y轴交于E点，连接DG；如图所示：
∵CD⊥y轴，
∴∠EDC=90°，
∵∠ECD=60°，△DCG是等边三角形，
∴DC=CG=DG，∠CED=30°，
∴CD=

1

2

EC，CG=

1

2

EC，
∴EG=GC，
∵∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠BCG，
∵DC=DG，AC=BC，
∴△ACD≌△BCG，
∴∠BGC=∠ADC=90°
，∴BG是EC的垂直平分线，
∴BE=BC=AB，
∵BO⊥AE，
∴OA=OE=3，点E的坐标为（0，-3），
∵BO垂直平分AE，F在BO上，
∴AF=EF，
∴∠OAF=∠OEF=30°，
∴OF=OA•tan30°=3×

3

3

=

3

，
即点F的坐标为（

3

，0），
∴点C在经过点（0，-3）和（

3

，0）的直线上，
设点C的纵坐标和横坐CH标的关系式为y=kx+b，
根据题意得：

b=-3 3 k+b=0

，解得k=

3

，b=-3，
∴y=

3

x-3；故答案为：y=

3

x-3；
（3）如图4所示，当点B运动到（-

3 3

2

，0）时，OC有最小值；最小值为

3

2

；
理由如下：∵点C在直线y=

3

x-3上，作OC⊥直线y=

3

x-3，垂足即为C
；连接AC，作CH⊥Y轴于H；
根据题意得，CM=2

3

，OC=

OC•OM

CM

=

3× 3

2 3

=

3

2

，OH=

1

2

OC=

3

4

，CH=

3 3

4

，
∴AC2=(3+

3

4

)2+(

3 3

4

)2=

63

4

，
∴AB=AC=

3 7

2

，
∴OB²=

63

4

-32=

27

4

，
∴OB=

3 3

2

，
∴B（-

3 3

2

，0）．

点评：本题考查了一次函数的解析式的求法、点的坐标、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；本题难度较大，综合性强；特别是第（3）（4）问，要仔细分析观察，有利于培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．