Question

已知：如图一次函数y=

1

2

x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象与一次函数y=

1

2

x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得．
（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CF⊥x轴于F，若∠BPC=90°，则△BPO∽△CPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

c=1 b+c+ 1 2 =0

，
得解析式y=

1

2

x²-

3

2

x+1．（3分）

（2）设C（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
则有

y0= 1 2 x0+1 y0= 1 2 x02- 3 2 x0+1

解得

x0=4 y0=3

，
∴C（4，3）（6分）
由图可知：S_{四边形BDEC}=S_△ACE-S_△ABD，又由对称轴为x=

3

2

可知E（2，0），
∴S=

1

2

AE•y₀-

1

2

AD×OB=

1

2

×4×3-

1

2

×3×1=

9

2

．（8分）

（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，
∴∠OBP=∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴

BO

PF

=

OP

CF

，
即

1

4-a

=

a

3

，
整理得a²-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，难度适中．