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先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道,若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0,则必有a>0,△=b2-4ac≤0;例如y=x2+2x+1=(x+1)2≥0,则△=b2-4ac=0,y=x2+2x+2=(x+1)2+1>0,则△=b2-4ac<0.
(1)求证:(a12+a22+…+an2)•(b12+b22+…+bn2)≥(a1•b1+a2•b2+…+an•bn2
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值;
(3)若2x2+y2+z2=2,求x+y+z的最大值;
(4)指出(2)中x2+y2+z2取最小值时,x,y,z的值(直接写出答案).
分析:(1)首先构造二次函数:f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22+…+(anx+bn2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2),由(a1x+b12+(a2x+b22+…+(anx+bn2≥0,即可得f(x)≥0,可得△=4(a1b1+a2b2+…+anbn2-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0,整理即可证得:(a12+a22+…+an2)•(b12+b22+…+bn2)≥(a1•b1+a2•b2+…+an•bn2
(2)利用(1)可得:(1+4+9)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2,又由x+2y+3z=6,整理求解即可求得答案;
(3)利用(1)可得:(2x2+y2+z2)(
1
2
+1+1)≥(x+y+z)2,又由2x2+y2+z2=2,整理求解即可求得答案;
(4)因为当且仅当
a1
b1
=
a2
b2
=…=
an
bn
时等号成立,即可得当且仅当x=
y
2
=
z
3
时,x2+y2+z2取最小值,又由x+2y+3z=6,即可求得答案.
解答:解:(1)构造二次函数:f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22+…+(anx+bn2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2)≥0,
∴△=4(a1b1+a2b2+…+anbn2-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0,
即:(a12+a22+…+an2)•(b12+b22+…+bn2)≥(a1•b1+a2•b2+…+an•bn2
当且仅当
a1
b1
=
a2
b2
=…=
an
bn
时等号成立;

(2)根据(1)可得:(1+4+9)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2
∵x+2y+3z=6,
∴14(x2+y2+z2)≥36,
∴x2+y2+z2
18
7

∴若x+2y+3z=6,则x2+y2+z2的最小值为
18
7


(3)根据(1)可得:(2x2+y2+z2)(
1
2
+1+1)≥(x+y+z)2
∵2x2+y2+z2=2,
∴(x+y+z)2≤2×
5
2
=5,
∴-
5
≤x+y+z≤
5

∴若2x2+y2+z2=2,则x+y+z的最大值为
5


(4)∵当且仅当x=
y
2
=
z
3
时,x2+y2+z2取最小值,
设x=
y
2
=
z
3
=k,
则x=k,y=2k,z=3k,
∵x+2y+3z=6,
∴k+4k+9k=6,
解得:k=
3
7

∴当x2+y2+z2取最小值时,x=
3
7
,y=
6
7
,z=
9
7
点评:此题考查了二次函数的综合应用.此题难度较大,解题的关键是根据题意构造二次函数f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22+…+(anx+bn2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2),然后利用判别式求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

先阅读下面的材料,再解答后面的各题:
现代社会对保密要求越来越高,密码正在成:为人们生活的一部分.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1,2,3…25,26这26个自然数(见下表):
Q W E R T Y U I O P A S D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
F G H J K L Z X C V B N M
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
给出一个变换公式:
x′=
x
3
(x是自然数,1≤x≤26,x被3整除)
x′=
x+2
3
+17(x是自然数,1≤x≤26,x被3除余1)
x′=
x+1
3
+8(x是自然数,1≤x≤26,x被3除余2)

将明文转换成密文,如:4?
4+2
3
+17=19
,即R变为L.
11?
11+1
3
+8=12
,即A变为S.
将密文转换成明文,如:21?3×(21-17)-2=10,即X变为P
13?3×(13-8)-1=14,即D变为F.
(1)按上述方法将明文NET译为密文;
(2)若按上述方法将明文译成的密文为DWN,请找出它的明文.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道,若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0,则必有a>0,△=b2-4ac≤0;例如y=x2+2x+1=(x+1)2≥0,则△=b2-4ac=0,y=x2+2x+2=(x+1)2+1>0,则△=b2-4ac<0.
(1)求证:(a12+a22+…+an2)•(b12+b22+…+bn2)≥(a1•b1+a2•b2+…+an•bn2
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值;
(3)若2x2+y2+z2=2,求x+y+z的最大值;
(4)指出(2)中x2+y2+z2取最小值时,x,y,z的值(直接写出答案).

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科目:初中数学 来源:贵州省期末题 题型:解答题

先阅读下面的材料,再解答后面的各题:现代社会对保密要求越来越高,密码正在成:为人们生活的一部分.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1,2,3…25,26这26个自然数(见下表):
给出一个变换公式:
将明文转换成密文,如:4,即R变为L.
11,即A变为S.
将密文转换成明文,如:213×(21﹣17)﹣2=10,
即X变为P
133×(13﹣8)﹣1=14,即D变为F.
(1)按上述方法将明文NET译为密文;
(2)若按上述方法将明文译成的密文为DWN,请找出它的明文.

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科目:初中数学 来源:2009年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学试卷 (解析版) 题型:解答题

先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道,若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0,则必有a>0,△=b2-4ac≤0;例如y=x2+2x+1=(x+1)2≥0,则△=b2-4ac=0,y=x2+2x+2=(x+1)2+1>0,则△=b2-4ac<0.
(1)求证:(a12+a22+…+an2)•(b12+b22+…+bn2)≥2
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值;
(3)若2x2+y2+z2=2,求x+y+z的最大值;
(4)指出(2)中x2+y2+z2取最小值时,x,y,z的值(直接写出答案).

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