Question

如图，已知抛物线y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交与点A、B（点A位于点B的左则），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为

 

，点C的坐标为

 

（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且三角形PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）根据（2）问，求点P能否在抛物线上？如果能，求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，根据A与B的位置关系即可确定出A、B的坐标；
（2）过P作PE垂直于x轴，过C作CD垂直于PE，利用AAS得出△PCD与△PBE全等，由全等三角形的对应边相等得到PE=CD，设P（x，x），即PE=CD=x，如图所示，S_{四边形PCOB}=S_梯形OCPE+S_{直角三角形BPE}，令抛物线解析式中x为0表示出y，求出OC的长，利用梯形及三角形面积公式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出P的坐标．
（3）把点P的坐标代入抛物线解析式进行验证即可．

解答：解：（1）对于抛物线y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

（b是实数且b＞2）．
令y=0，则

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

=0，
整理，得
（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左边，
∴A（1，0），B（b，0）．ω
令x=0，则y=

b

4

．
∴C（0，

b

4

）
故答案是：（b，0）；C（0，

b

4

）；

（2）存在点P．理由如下：
如图，过P作PE⊥x轴，过C作CD⊥PE，
∵由（1）知，C（0，

b

4

），
∴即OC=

b

4

，
∵△BCP为等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，

∠PDC=∠BEP=90° ∠PCD=∠BPE PC=PB

，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
设P（x，x），则有CD=PE=x，
∵S_{四边形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=

1

2

x•（

b

4

+x）+

1

2

x（b-x）=2b，
整理得：5x=16，
解得：x=

16

5

，
则P（

16

5

，

16

5

）．

（3）点P不在该抛物线上，理由如下：
把P（

16

5

，

16

5

）代入y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

，得

16

5

=

1

4

×（

16

5

）²-

1

4

（b+1）×

16

5

+

b

4

，
解得b=-

136

35

，与b＞2相矛盾，
则点P不在该抛物线上．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，以及梯形、三角形面积求法，根据题意得出CD=PE是解本题第二问的关键．