Question

13．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，P是AB延长线上一点，连接PD，∠PDC=∠CAD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当AB=12，CD=6时，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质证得∠EOD=∠CAD，即可证得∠CAD+∠ODE=90°，即OD⊥PD，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得OE，然后证得△OED∽△DEP，根据相似三角形对应边成比例，即可求得PD的长．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴DE=CE，
∴AE是△ADC的角平分线，
∴2∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠EOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴∠EOD=∠CAD，
∵∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CAD+∠ODE=90°，
即OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解∵AB⊥CD于E，CD=6，
∴DE=3，
∵AB=12，∴OD=$\frac{1}{2}$AB=6
在Rt△ODE中，DE²+OE²=OD²，即：3²+OE²=6²
解得：OE=3$\sqrt{3}$
∵∠EOD=∠PDE，∠OED=∠DEP=90°，
∴△OED∽△DEP，
∴$\frac{PD}{OD}=\frac{DE}{OE}$，即$\frac{PD}{6}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$，
∴PD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质熟练掌握性质定理是解题的关键．