Question

7．如图，已知抛物线的顶点坐标为D（1，5），抛物线与y轴交于点C（0，4），点C和点E关于对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点M，使得△MDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为y=a（x-1）²+5（a≠0），再把（0，4）代入可计算出a的值，从而求得抛物线的解析式．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起M点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

解答 解：（1）由题意，抛物线的顶点坐标为D（1，5），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5（a≠0），
把（0，4）代入上式得：a+5=4，
解得，a=-1．
所以，这条抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+5．
（2）存在．
已知（1，5），C（0，4），对称轴为直线x=1．
①若以CD为底边，则MD=MC，
设M点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x²+（y-4）²=（x-1）²+（y-5）²，
即y=5-x．
又M点（x，y）在抛物线上，
∴5-x=-（x-1）²+5，
即x²-3x+1=0，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜1，应舍去，
∴x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴y=5-x=$\frac{7-\sqrt{5}}{2}$，
即点M坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{5}}{2}$）．
②若以CD为一腰，
∵点M在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点M与点C关于直线x=1对称，
此时点M坐标为（2，4）．
∴符合条件的点M坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{5}}{2}$）或（2，4）．

点评 本题考查了待定系数法法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判定，利用待定系数法求得解析式是本题的关键．