Question

15．如图，在Rt△BAC中，∠ACB=Rt∠，AC=6，BC=8，D是AC边上的一点，点D关于BC的对称点为E，关于AB的对称点为F，连接BD，BE，BF，EF，若BD平分∠ABC，则EF的长为$\frac{16}{5}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先连接FD交AB于G，设EF与BD交于H，根据轴对称的性质，得到BD=BE=BF，∠DBE=∠DBF，EF=2HE，再判定△DBC≌△DBG，即可得出DG=DC，BG=BC=8，设CD=DG=x，则AD=6-x，根据Rt△ADG中，AG²+DG²=AD²，可得方程2²+x²=（6-x）²，求得x=$\frac{8}{3}$，即可得到DE=2x=$\frac{16}{3}$，再根据S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE×BC=$\frac{1}{2}$BD×HE，可得HE=$\frac{8}{5}\sqrt{10}$，进而得到EF=$\frac{16}{5}\sqrt{10}$．

解答 解：如图，连接FD交AB于G，设EF与BD交于H，
根据轴对称可得，BD=BE=BF，∠DBE=∠DBF，
∴等腰△BEF中，BH⊥EF，EF=2HE，
∵∠DBF=∠DBE=2∠DBC=2∠DBG，
∴BG平分∠DBF，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BCD=90°，
∵DB平分∠ABC，
∴∠DBC=∠DBG，
∴△DBC≌△DBG，
∴DG=DC，BG=BC=8，
∵Rt△BAC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，AG=10-8=2，
设CD=DG=x，则AD=6-x，
∵Rt△ADG中，AG²+DG²=AD²，
∴2²+x²=（6-x）²，
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴DE=2x=$\frac{16}{3}$，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{8}{3}\sqrt{10}$，
∵S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE×BC=$\frac{1}{2}$BD×HE，
∴HE=$\frac{BC×DE}{BD}$=$\frac{8×\frac{16}{3}}{\frac{8}{3}\sqrt{10}}$=$\frac{8}{5}\sqrt{10}$，
∴EF=$\frac{16}{5}\sqrt{10}$，
故答案为：$\frac{16}{5}\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解，解题时注意面积法以及方程思想的灵活运用．