Question

【题目】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，

当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．

则

（2）解：由利润=（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式

w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）

w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）

（3）解：当50≤x≤80时，w=﹣x2+300x﹣10400，

当x=80有最大值，最大值为7200，

当80＜x＜140时，w=﹣3x2+540x﹣16800，

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90元．利润最大为7500元

【解析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y=260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420﹣3x，80＜x＜140，（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．