Question

如图，已知，AB＝AC，过点A作AG⊥BC，垂足为G，延长AG交BM于D，过点A做AN∥BM，过点C作EF∥AD，与射线AN、BM分别相交于点F、E。

（1）求证：△BCE∽△AGC；

（2）点P是射线AD上的一个动点，设AP＝x，四边形ACEP的面积是y，若AF＝5，。

①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

②当点P在射线AD上运动时，是否存在这样的点P，使得△CPE的周长为最小？若存在，求出此时y的值，若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）由EF∥AD可得∠AGC=∠BCE，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再根据同角的余角相等可得∠ACB=∠BEC，即可证得结论；

（2）（x＞0）；

（3）当点P运动到点D时，B、P、E三点共线时，周长最小为

【解析】

试题分析：（1）由EF∥AD可得∠AGC=∠BCE，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再根据同角的余角相等可得∠ACB=∠BEC，即可证得结论；

（2）由题意可得四边形ACEP为梯形，根据梯形的面积公式即可得到结果；

（3）由图可得当点P运动到点D时，B、P、E三点共线时周长最小，根据勾股定理即可求得结果.

（1）∵EF∥AD

∴∠AGC=∠BCE，∠ADB=∠BEC

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵，AG⊥BC

∴∠ABC+∠GBD=90°，∠ADB+∠GBD=90°

∴∠ABC=∠ADB

∴∠ACB=∠BEC

∴△BCE∽△AGC；

（2）由题意得四边形ACEP为梯形

∴y关于x的函数关系式为（x＞0）；

（3）由图可得当点P运动到点D时，B、P、E三点共线时，周长最小为.

考点：相似三角形的判定和性质，动点问题的应用

点评：动点问题的应用是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意.