Question

7．如图1，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，顶点为D，连结AC，BC．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）如图2，点P是该抛物线在第一象限内上的一点．
①过点P作y轴的平行线交BC于点E，若CP=CE，求点P的坐标；
②连结AP交BC于点F，求$\frac{PF}{AF}$的最大值．
（3）若点Q在该抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），将点C的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴方程，将x=3代入可求得抛物线的顶点坐标；
（2）①如图1所示：作CM⊥PE，垂足为M．先利用待定系数法求得BC的解析式，设点P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），则点E（m，-$\frac{1}{2}$m+4），M（m，4），接下来依据等腰三角形的性质可得到PM=EM，从而得到关于m的方程，于是可求得点P的坐标②作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△COB，由相似三角形的性质可知PN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PE，然后再证明△PFN∽△CAF，由相似三角形的性质可得到PF：AF与m的函数关系式，从而可求得$\frac{PF}{AF}$的最大值；
（3）设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过点C作CH⊥QD于H，如图3所示：先依据勾股定理可求得DC的长，设Q（3，b），然后依据锐角三角函数的定义得到QG的长，从而得到AQ的长，最后再△AQP中依据勾股定理可得到关于b的方程，从而得到点Q的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8）．
∵抛物线经过点C（0，4），
∴-16a=4，解得a=-$\frac{1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
∵A（-2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x=3．
∵将x=3代入得：y=$\frac{25}{4}$，
∴抛物线的顶点坐标为（3，$\frac{25}{4}$）．
（2）①如图1所示：作CM⊥PE，垂足为M．

设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
设点P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），则点E（m，-$\frac{1}{2}$m+4），M（m，4）．
∵PC=EC，CM⊥PE，
∴PM=EM．
∴-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4-4=4-（-$\frac{1}{2}$m+4），解得：m=0（舍去），m=4．
∴P（4，6）．
②作PN⊥BC，垂足为N．

由①得：PE=-$\frac{1}{4}$m²+2m．
∵PE∥y轴，PN⊥BC，
∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．
∴△PNE∽△BOC．
∴$\frac{PN}{PE}=\frac{OB}{BC}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴PN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（-$\frac{1}{4}$m²+2m）．
∵AB=10，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=AB²．
∴∠BCA=90°，
又∵∠PFN=∠CFA，
∴△PFN∽△CAF．
∴$\frac{PF}{AF}=\frac{PN}{AC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}（-\frac{1}{4}{m}^{2}+2m）}{2\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{20}$m²+$\frac{2}{5}$m．
∴当m=4时，$\frac{PF}{AF}$的最大值为$\frac{4}{5}$．
（3）设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过点C作CH⊥QD于H，如图3所示：

由（1）可知：CH=3，DH=$\frac{25}{4}$-4=$\frac{9}{4}$．
在△CHD中，由勾股定理可知DC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
设Q（3，b）则QD=$\frac{25}{4}$-b．
∵sin∠D=$\frac{CH}{DC}=\frac{QG}{DQ}$=$\frac{4}{5}$，
在△AQP中，由勾股定理得QG=$\frac{4}{5}$（$\frac{25}{4}$-b）=b²+5²．
解得：b=0，b=-$\frac{200}{9}$．
∴点Q的坐标为（3，0）或（3，-$\frac{200}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，$\frac{PF}{AF}$与m的函数关系式是解题的关键．