如图.抛物线y=ax2+bx+c.顶点为Q(2.3).点D在x轴正半轴上.且OD=OC(1)求抛物线的解析式,(2)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°.所得直线与抛物线线相交于另一点E.求证:△CEQ∽△CDO,的条件下.若点P是线段QE上的动点.点F是线段OD上的动点.问:在P点和F点移动过程中.△PCF的周长是否存在最小值?若存在.求出这个最小值,若不存在.请说明理由,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°，所得直线与抛物线线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（3）①在（2）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②直线写出将该抛物线沿QC方向平移$\sqrt{2}$个单位后的抛物线的解析式．

分析（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形，进而得出△CEQ∽△CDO；
（3）①如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．
如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．
②利用二次函数平移的性质左加右减以及结合点的坐标得出∠QCE的度数进而求出即可．

解答解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+3，
将C（0，1）代入得：1=a×（-2）²+3，
解得a=-$\frac{1}{2}$．
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+3=-$\frac{1}{2}$x²+2x+1．

（2）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，
∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，
∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），
∴ME=CM=QM=2，
∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，
∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．

（3）①存在．
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，-1）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=$\sqrt{C′{N}^{2}+C″{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2$\sqrt{13}$．

②∵C（0，1），Q（2，3），
∴可得∠QCE=45°，则将该抛物线沿QC方向平移$\sqrt{2}$个单位后的抛物线的解析式相当于向下平移1个单位，
再向左平移1个单位得到的函数解析式，故平移后解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2．

点评本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（3）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．

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