练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax2+
    		3
    6
    x+c    与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
    （3）点P为△ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．精英家教网
    分析：（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；
    （2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；
    过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AEK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；
    （3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外切圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长．
    解答：精英家教网解：（1）过E作EG⊥OD于G（1分）
    ∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
    ∴△BOD∽△EGD，
    ∵点B（0，2），∠ODB=30°，
    可得OB=2，OD=2
    		3
    ；
    ∵E为BD中点，
    ∴
    EG
    BO
    =
    DE
    DB
    =
    GD
    OD
    =
    1
    2

    ∴EG=1，GD=
    		3

    ∴OG=
    		3

    ∴点E的坐标为(
    		3
    ，1)    （2分）
    ∵抛物线y=ax2+
    		3
    6
    x+c    经过B（0，2）、E(
    		3
    ，1)    两点，
    ∴1=a(
    		3
    )2+
    		3
    6
    ×
    		3
    +2    ，
    可得a=-
    1
    2
    ；
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    		3
    6
    x+2    ；（3分）

    （2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
    精英家教网∴A点的坐标为(-
    		3
    ，0)
    ∴AG=2
    		3
    ，EG=1    ，
    ∴在△AGE中，∠AGE=90°，AE=
    		(2
    		3
    )    2    +12
    =
    		13
    （4分）
    过点O作OK⊥AE于K，
    可得△AOK∽△AEG
    ∴
    OK
    AO
    =
    EG
    AE

    ∴
    OK
    		3
    =
    1
    		13

    ∴OK=
    		39
    13

    ∴AK=
    		AO2-OK2
    =
    6
    		13
    13

    ∵△OMN是等边三角形，
    ∴∠NMO=60°
    ∴KM=
    OK
    tan∠KMO
    =
    		39
    13
    		3
    =
    		13
    13
    ；
    ∴AM=AK+KM=
    7
    		13
    13
    ，或AM=AK-KM=
    5
    		13
    13
    ；（6分）
    （写出一个给1分）

    （3）如图；
    精英家教网以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
    易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
    连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
    ∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
    ∴△AOE≌△B′OB；
    ∴∠B′BO=∠AEO；
    ∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
    ∴∠POP'=60°，
    ∴△POP′为等边三角形，
    ∴OP=PP′，
    ∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
    即m最小=AE=
    		13
    ；
    如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
    精英家教网根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
    ∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
    即B、P、O、E四点共圆；
    易求得Q（
    		3
    3
    ，1），则H（
    2
    		3
    3
    ，0）；
    ∴AH=
    5
    		3
    3
    ；
    由割线定理得：AP•AE=OA•AH，
    即：AP=OA•AH÷AE=
    		3
    ×
    5
    		3
    3
    ÷
    		13
    =
    5
    		13
    13
    ．
    故：m可以取到的最小值为
    		13

    当m取得最小值时，线段AP的长为
    5
    		13
    13
    ．
    （如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）
    点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案