Question

14．△ABC中，G是△ABC的重心，过G作EF∥AC，求S_△BEF：S_△ACG．

Answer 1

分析 由G是△ABC的重心可得BG=2GD，则有$\frac{BG}{BD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DG}{BD}$=$\frac{1}{3}$．从而得到$\frac{{S}_{△ADG}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△CDG}}{{S}_{△CBD}}$=$\frac{1}{3}$，进而得到S_△ACG=$\frac{1}{3}$S_△ABC．由EF∥AC可得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质可得$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BG}{BD}$）²=$\frac{4}{9}$，则有S_△BEF=$\frac{4}{9}$S_△ABC，就可求出S_△BEF：S_△ACG．

解答 解；∵G是△ABC的重心，
∴BG=2GD，
∴$\frac{BG}{BD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DG}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{{S}_{△ADG}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△CDG}}{{S}_{△CBD}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△ACG=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BG}{BD}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴S_△BEF=$\frac{4}{9}$S_△ABC，
∴S_△BEF：S_△ACG=$\frac{4}{9}$：$\frac{1}{3}$=4：3．

点评 本题主要考查了三角形的重心、相似三角形的性质，运用面积法是解决本题的关键．