Question

12．如图，在△ABC中，AF：FC=1：2，D是BF的中点，连结AD并延长交BC于点E，求BE：EC的值．

Answer 1

分析 过点F作FG∥BC交AE于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFG=∠DBE，∠DGF=∠DEB，再根据中点定义可得BD=DF，然后利用“角角边”证明△DBE和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EB=GF，然后求出$\frac{AF}{AC}$，再求出△AFG和△ACE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到$\frac{FG}{CE}$，从而得到BE：EC；

解答 解：如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG=∠DBE，∠DGF=∠DEB，
∵D是BF的中点，
∴BD=DF，
在△DBE和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠DBE}\\{DF=BD}\\{∠GDF=∠EDB}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DFG（ASA），
∴EB=GF，
∵AF：FC=1：2
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ACE，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{GF}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∴BE：EC=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．