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    如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C：
    ①当n=3时a=______；
    ②a关于n的关系式是______．
    ①如图当n=3时，OC=1，BC=3，
    设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，
    过C作CD⊥OB于点D，
    则Rt△OCD∽Rt△OBC，
    ∴
    OD
    CD
    =
    OC
    BC
    =
    1
    3
    ，
    设OD=t，则CD=3t，
    ∵OD2+CD2=OC2，
    ∴（3t）2+t2=12，∴t=
    1
    10
    =
    		10
    10

    ∴C（
    		10
    10
    ，
    3
    10
    		10
    ），又B（
    		10
    ，0），
    ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
    0=10a+
    		10
    b
    3
    10
    		10
    =
    1
    10
    a+
    		10
    10
    b

    解得：a=-
    		10
    3
    ，
    故答案为：-
    		10
    3
    ．
    ②当n=2时，OC=1，BC=2，
    ∴OB=
    		5
    ，
    ∴1×2=
    		5
    CD，B（
    		5
    ，0）
    ∴CD=
    2
    		5
    5
    ，
    ∴OD=
    		5
    5
    ，
    ∴C（
    		5
    5
    ，
    2
    		5
    5
    ）
    设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，
    ∴
    0=5a+
    		5
    b
    2
    		5
    5
    =
    1
    5
    a+
    		5
    5
    b
    ，
    解得：a=-
    		5
    2
    ；
    同理当n=4时，a=-
    		17
    4
    ；
    ∴可以得出a关于n的关系式是：a=-
    		n2+1
    n
    ．

    故答案为：-
    		10
    3
    ，a=-
    		n2+1
    n
    ．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．
    （1）求y与x的函数表达式；
    （2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．顶点为M，过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．
    （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
    （2）试判断△AMN的形状，并说明理由；
    （3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，圆M与x轴相交于A，B两点，其坐标分别为A（-3，0），B（1，0），直径CD垂直于x轴于N，直线CE切圆M于C，直线FG切圆M于F，交CE于G，已知点G的横坐标为3，
    （1）若抛物线y=-x2-2x+m经过A，B，D三点，求m的值及点D的坐标；
    （2）求直线DF的解析式；
    （3）是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（-4，-3），与y轴交于点B，对称轴是x=-3，请解答下列问题：
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．
    注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-
    b
    2a
    ．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线y=ax2+bx上，且y=ax2+bx的最大值是2，y=ax2+bx与x轴的正半轴的交点E的坐标是（2，0）．
    （1）求a，b的值；
    （2）若矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的封闭区域内，试探索：是否存在周长为3的矩形？若存在，求出此时B点的坐标；若不存在说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB=OC．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
    （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，点C（
    		3
    ，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒2
    		3
    个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒．
    （1）求出点B的坐标；
    （2）当t为何值时，△POQ与△COD相似？
    （3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    （4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180°，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线y=ax2+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M．由已知，直接写出：①a的取值范围为______；②点M移动的平均速度是______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知直线y=-
    1
    2
    x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

    （1）请直接写出点C，D的坐标；
    （2）求抛物线的解析式；
    （3）若正方形以每秒
    		5
    个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
    （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

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